三种格林函数的定义
- Retarted Grenn's Function
- Advanced Grenn's Function
- Causal Grenn's Function
- 在解格林函数运动方程时,常用的是推迟和超前格林函数,而diagram techniques中常用因果格林函数。
- 根据定义就可以验证它们之间的关系:\(G_{AB}^{\mathrm{ret}}(t,t')=\varepsilon G_{BA}^{\mathrm{adv}}(t,t')\)
谱密度的定义
- Spectral Density
- 谱密度所包含的与格林函数完全相同的信息。
关联函数的定义
- 为了证明格林函数和谱密度对于时间是各向同性(homogeneous in time)的,也就是它们的值只与$t-t'$有关,而与$t$和$t'$的具体位置无关,定义关联函数为
这样,只须证明关联函数对于时间的各向同性,即可证明格林函数和谱密度对于时间的各向同性。
运动方程
- 时间表象的equation of motion,对格林函数的定义式求时间的偏层数即可得到
- 将其变换到能量表象
格林函数在\(t-t'=\pm \infty\) 时为零?
谱表示
- 谱密度的谱表示
- 推迟格林函数的谱表示
- 超前格林函数的谱表示
- 因果格林函数的谱表示
谱定理
- 谱定理描述了关联函数和谱密度之间的关系
- 其中的常数$D$可以由以下式子求得
Exact Expressions
- 判定近似的方法之一
也就是说,对易格林函数是实的,反对易格林函数是虚的。
- 判定近似的方法之二
- Sepctral Monments 的定义
Kramers-Kronig relations
- K-K关系说明,格林函数的实部和虚部是不独立的,只要求其实部或者虚部,就可求得格林函数的全部信息。
注
- 格林函数符号 $⟨⟨⟩⟩$在$\LaTeX$中可以引用MnSymbol包用 \llangle 打出。